Matematinė kalba ir simbolika

Fizikai, kompiuterininkai, filosofai, muzikai, matematikai naudoja savą terminologiją, kuri kitos srities specialistui gali būti sunkiai suprantama. Specializuota terminija yra įprastinės kalbos išplėtimas prisilaikant jos gramatikos. Tačiau jeigu skiriasi ir gramatika, skaitantysis turi žinoti ne tik naujų žodžių prasmes bet ir naujas kalbines taisykles. Pvz., mokėti skaityti natas.

Tuo tarpu žmonės kasdieninėje praktinėje veikloje nuolat naudoja matematines priemones apsieidami be matematinės kalbos. Mes pabandysime aptarti matematikos simbolinius žymenis. Matematinė kalba yra gana jauna, lyginant su kitomis. Nemažai tyrinėtojų ją laiko santrumpa, kai simboliniai pažymėjimai yra naudojami kalbos išsireiškimų pakeitimui. Pvz. 15 a. italų matematikai tokius žodžius kaip "cosa" (nežinomasis), "censo" (kvadratas) ar "radice" (šaknis) keitė į c, ce ir R. Luca Pacioli "pio" (pliusas) ir "meno" (minusas) keitė į p ir m su mažais pabraukimais apačioje. Tad matematinė kalba pradžioje buvo paveldėjusi natūralios kalbos struktūras. Tik skirtingai nuo gyvų kalbų, matematinė kalba buvo rašytinė nuo pat pradžių.

Deividas Hilbertas ir kiti formalistai pabandė formalizuoti visą matematiką – jiems matematika kai kurias įprastų kalbų struktūras. Matematikai ir filosofai (kaip Leibnicas ir Dekartas) kėlė visiškai buvo formalus paskaičiavimas. Vienas iš pagrindinių jų rūpesčių buvo aksiomatizuoti matematiką, t.y. padėti formalius pagrindus. Tačiau 1931 m. Kurtas Giodelis parodė matematikos aksiomatikos ribotumą (žr. >>>>>). Visos matematikos neįmanoma formalizuoti.

Matematiniai tekstai yra dvikalbiai: jie parašyti įprasta kalba išplėsta matematine terminija, su dalimis, parašyti matematine simbolika, pvz.,
Tiesinė lygtis užrašoma taip: ax + by + c = 0

Pradžia yra parašyta įprasta kalba naudojant jos fonemas ir laikantis jos gramatikos. Pabaiga parašyta naudojant matematines koncepcijas. Šių ženklų "gramatika" visiškai skiriasi nuo įprastos kalbos gramatikos. Ji yra specialiai sukonstruota tam tikslui. Matematinės kalbos žinojimas yra jos gramatikos supratimas. Tiesa, neabejotinai, matematikoje naudojami ir kiti atvaizdavimo būdai, pvz., brėžiniai, grafikai ir schemos – tačiau tai čia nebus aptariama.

Matematinės kalbos dvikalbiškumas buvo labai svarbus Vitgeinšteino matematinėje filosofijoje:
… tai, kas priversta išnykti (dėl pagrindų kritikos).yra pavadinimai ir nurodymai, naudojami atliekant skaičiavimus; tai noriu pavadinti proza. Labai svarbu kaip įmanoma griežčiau atskirti skaičiavimą ir tą prozos tipą.
Čia terminu "skaičiavimai" Vitgeinšteinas išreiškė tiek aritmetiką, tiek algebrą.

"1+1=2" yra teisingas teiginys, "1+1=3" – klaidingas, o "1+1=+%" – netgi ne teiginys, nes yra beprasmis. Pirmi du laikosi matematinės "gramatikos" taisyklių, o trečiasis – ne. Jis tėra ženklų seka. Tačiau reikia atkreipti dėmesį, kad toji "gramatika" yra intuityviai aiški ir nelengva pasakyti, kurios taisyklės ta išraiška netenkina. Reiktų įvesti taisyklę, panašią į šią: "Abiejose lygybės pusėse turi būti kintamasis arba skaičius".

Panaši situacija įprastinėje kalboje. Galime sakyti: "Varlė turi keturias kojas", arba "Varlė turi tris kojas", o taip pat "Varlė kojas". Pirmas teiginys teisingas, antras klaidingas, o trečias beprasmis. Tačiau pastebėkime, kad pirmųjų dviejų sakinių teisingumo negalima nustatyti iš pačios kalbos. Tam reikia žinoti biologiją. Kalba neturi turinio teisingumo nustatymo priemonių. Taipogi, kalbos taisyklės yra apibrėžtos ir "Varlė kojas" nėra taisyklingas sakinys, nes nėra tarinio. Net jei kalboje nėra apibrėžtų tokių taisyklių, jas galėtų suformuluoti bet kuris, gerai žinantis kalbą.

Galima kalbėti apie "prastą" matematinę kalbą ir "gerą" matematinę kalbą. Abiem atvejais jos tenkina matematinių taisykles, tačiau "gera" matematinė kalba potekstėje turi "kalbos kultūrą" ir konteksto jutimą. Pavyzdžiui, laikoma, kad užrašas "ax + by + c = 0" yra "geresnis" nei "xa + yb + z = 0". Taip pat palaikysite, kad skliaustai išraiškose "f(x+h)" ir a(b+c) turi skirtingas prasmes, net nežinodami kokiame kontekste jos naudojamos. Ir netgi galima atpažinti matematinės kalbos "dialektus" - nežymius skirtumus naudojant simbolius ir taisykles.

Matematinė kalba turi simbolius, kurie pagrįsti koncepcijomis, kaip ir kinų abėcėlėje, o ne fonemomis. Todėl jie gali būti "tariami" skirtingai, tačiau užrašomi vienodai. Ir nėra poreikio "versti" tuos simbolius.

Ankstesniame lygties pavyzdyje ax + by + c = 0 dauguma matematikų x ir y kaikys kintamaisiais, o a, b ir c konstantomis, o mintyse susiformuos tiesės vaizdas. Tai nėra pačioje lygtyje – geometrinė interpretacija yra "matematinio turinio" pavyzdys. Tačiau galite lygtį įsivaizduoti ir kaip santykį tarp skaičių. Tokia turinio koncepcija yra priklausoma nuo kultūros ir, dažnokai, asmeninė. Ją nelengva formalizuoti ar apibrėžti, nes aprašai nėra formulės.

Dabar paliesime semiotikos aspektus. Iš F. Saussure galima pasiskolinti idėją, kad "ženklas" turi dvi dalis: žymenį ir žymintįjį. Saussure pabrėžė, kad jos yra psichiniame lygmenyje, tačiau daugelis post-Saussure mąstytojų pabrėžė, kad žymuo yra esybė, pvz., dažų taškeliai sudarantys knygos tekstą. Tuo tarpu žymimasis yra koncepcija arba tam tikro tipo mentalinis vaizdas. Saussure pabrėžė, kad nėra būtino, vidinio, tiesioginio ryšio tarp žymens ir žymimojo. Ryšis tarp jų visai atsitiktinis: pvz., "raidė t neturi ryšio su jos ištarimo garsu". Ryšiai, nustatyti kultūroje, tampa struktūros dalimis ir ženklų prasmės yra valdomos tos struktūros bei struktūrinių ryšių tarp ženklų. Nė vienas ženklas pats savaime neturi prasmės: "medžio" prasmė susijusi su kitais ženklais, pvz., "krūmu". Saussure naudojo analogiją su šachmatais, atkreipdamas dėmesį, kad figūros vertė priklauso nuo jos vietos lentoje. Kai pažymėjimas aiškiai priklauso nuo ryšio tarp abiejų ženklo dalių, ženklo vertė apibrėžiama santykiu tarp to ženklo ir kitų ženklų sistemoje (kaip visumoje). Žymenis atspindi skirtumus, svarbius kalbos naudotojams; ženklo prasmė yra labiau kuo jis nėra, o ne kuo jis yra.

Peirce išdėstė idėją, kad ženklo prasmės suteikimas yra interpretacijos aktas, kurį turi atlikti interpretatorius. Interpretatorius mintyse susikuria savą "ženklą" iš išorinio ženklo; ir tas ženklas taipogi turi būti interpretuojamas. Šis modelis kartais vadinamas "semiotiniu trikampiu", nes yra trys dalys: nešiklis, prasmė ir referentas. Interpretacijos procesas, semiosis vyksta atskirais etapais, iš principo, iki begalybės. Panaši situacija, kai žymimasis turi ir žymens vaidmenį sutinkamas žodyne; apibrėžime esančius terminus kartais irgi tenka apibrėžti. Semiosis gali vykti dialogo forma vieno žmogaus mintyse arba tarp kelių žmonių. Tad Peirce pabrėžia diachronikinius aspektus. Jis tvirtina, kad "bet koks mąstymas vyksta dialogo forma. Jūsų aš prašo gilesnio aš pritarimo". Tokią dialoginio interpretavimo plačiau išvystė Bakhtinas.

Č. Peirce sukūrė ir žymimųjų tipologiją, priklausomai nuo jų savarankiškumo laipsnio. Simboliai yra visiškas susitarimo reikalas, piktogramos yra panašokos į žymimąjį, o indeksai yra tiesiogiai sujungti.

Umberto Eco sakė: "ženklas yra melas", t.y. jis yra kažkam kita, tačiau kam? Atsakymas gali būti ir toks:
Išraiška x² + y²=1 gali būti laikoma specialios reikšmės neturinčia skaitmenų ir raidžių seka, algebrine lygtimi, apskritimo aprašymu arba pačiu apskritimu.

Tad kas yra matematikos kalba? Esamų koncepcijų sužymėjimas, sukuriamų objektų sužymėjimas, "tikroji" matematika, taupymas ar tiesiog naudingas žaidimas?

Papildoma literatūra

1. M. Bakhtin. The dialogic imagination: Four essays, 1981
2. C. Bergsten. From sense to symbol sense// European research in mathematics education, ed. I. Schwank, 1999
3. T. Brown. Mathematics education and language: Interpreting hermeneutics and post- structuralism, 2001 B. Butterworth. The mathematical brain, 1999
4. P. J. Davies, R. Hersh. The mathematical experience, 1980
5. J. Derrida. Of grammatology, 1976
6. U. Eco. A theory of semiotics, 1976
7. M. Kline. Mathematics: The loss of certainty, 1998
8. M. Marion. Wittgenstein, finitism, and the foundations of mathematics, 1998
9. C.S. Peirce. Collected writings, 1931-58
10. L. Radford. Signs and meanings in students' emergent algebraic thincing: a semiotic analysis// Educational Studies in Mathematics, 2000, no 42
11. D. Pimm. Speaking mathematixally…, 1987
12. G. Ryle. The concept of mind, 1949
13. F. de aussure. Course in general lingvistics, 1983
14. D. Tall, S. Vinner. Concept image and concept definition in mathematics…// Educational Studies in Mathematics, 1981, no 12
15. L. Wittgenstein. Philosophische Untersuchungen, 1967
16. L. Wittgenstein. Remarks on the foundatons of mathematics, 1983

Kiti HOT.LT straipsniai:
Nulio istorija
Trijų taisyklė
Nekenčiu kalkuliatoriaus!
Davidas Hilbertas
Rortis apie tiesą
Didžioji Ferma teorema
Vištų matematiniai pokalbiai
Matematikos filosofinės problemos
O jei Napoleonas nebūtų panaikinęs dešimtainio laiko?
Kompiuterinių žaidimų filologijos perspektyvos
Technika: Nuo Paleolito laikų
Naujojo tipo mokslas
Bilas Geitsas: kol dar nebuvo garsus
Specialioji reliatyvumo teorija
Negirdima melodija
ARPANET istorija
Programavimo kalbų evoliucija
Virusinis marketingas
Kompiuteriniai žaidimai filosofinės analizės požiūriu
Intuicijos ribojimas matematikoje 19-me amžiuje
Verčiame kompiuterinius terminus (PDF)
Nuogybės mobiliesiems telefonams - kokia ateitis
Ką byloja byla: ar teks bylinėtis dėl bylos?
Seniausias pasaulyje analoginis kompiuteris
Matematikos šlovė ir garbė
Išorinio panašumo pavojus
Įsilaužimų istorija
Eliza ir rūpesčiai dėl tapatybės