Matematikos filosofinės problemos. HOT.LT News

Matematika labai savitas mokslas ir kai kurių jos aspektų filosofinė analizė nėra paprasta. Tad nemažai metodologinių matematikos problemų vis dar neišspręsta.

Pirmąją filosofinę matematikos teoriją sukūrė pitagoriečiai, matematinį pažinimą laikę būtinu bet kokio kito pažinimo pagrindu ir tikriausia jo dalimi. Tuo tarpu matematikos ištakos skverbiasi į dar ankstesnius laikus, Egiptą ir Babiloną (skaitykite Matematika Egipte ir Finikijoje). Tačiau nemažai istorikų linkę manyti, kad matematika kaip teorinė disciplina atsirado vėliau, pas graikus, nes nei Egipte, nei Babilone nesutinkama dedukcinių išvadų, vienų formulių gavimo iš kitų. Pirmų matematinių teoremų įrodymas priskiriamas Taliui iš Mileto (apie 625-547 m. pr.m.e.). Vėliau matematika vystėsi jau sparčiai, ypač loginio sisteminimo srityje. O tai padarė didelę įtaką filosofiniam mąstymui. Mat graikai matematikoje įžvelgė ne tik praktinę priemonę, bet ir pasaulio esmės, susijusios su amžina ir nekintančia prigimtimi, išraišką. Ir tada atėjo eilė Pitagorui ištarti, kad „visa yra skaičius“. Graikai pastebėjo, kad aritmetiniai veiksmai turi savitą akivaizdumą, besąlygišką privalomumą. Tad filosofija pitagoriečiams virto skaičių ir geometrinių figūrų mistika; bet kurio teiginio apie pasaulį tikrumas buvo pasiekiamas jo suvedimai į skaičių harmoniją.

Platonas jau susimąstė ir apie matematinio dėsningumo ištakas. Jam matematinės tiesos įgimtos, jos yra vaizdiniai apie pačią Tiesą, kuriuos siela gavo tobulesniame, idėjų pasaulyje. Tad matematinis pažinimas tėra prisiminimas; jam nereikia patirties, gamtos stebėjimo, o vien tik regėjimo protu.

Tačiau egzistavo ir kita, realistiškesnė matematikos filosofija, kylanti iš Leukipo ir Demokrito atomizmo; jis neigė geometrinių darinių galimybę tuštumoje: geometrinės figūros jam buvo ne mąstymo esybės, o materialūs kūnai, sudaryti iš atomų. Matematinis atomizmas atsirado greičiau kaip atskira euristinė idėja geometrijoje, nei kaip ypatingas požiūris į visos matematikos prigimtį. Tačiau netiesiogiai jis prieštaravo pitagoriečiams, nes matematiniai dėsningumai buvo antriniai atomų atžvilgiu. Tad neveltui pitagoriečiai protestavo prieš matematikos pavertimą fizika.

Per tūkstantį metų trukusius Viduramžius matematika nepatyrė jokių esminių perversmų, nors matematinės ir loginės tiesos buvo nuolatinių scholastikos spekuliacijų temos. Tik 14-15 a. prasidėjo matematinio mąstymo atgimimas aritmetikoje, algebroje ir geometrijoje. Per 200 m. atsirado ir išsivystė visiškai naujos idėjos, šiandien priskiriamos diferencialiniam ir integraliniam skaičiavimams. Jas sukėlė mechanikos poreikiai. Kartu matematika imta traktuoti ne kaip abstraktus mokslas, o kaip empirinis, priklausantis nuo išorinių realijų.

$Formulas$ Pagrindine Leibnico sąvoka buvo diferencialas (be galo mažas funkcijos reikšmės pokytis). Jei funkcijos y=f(x) argumentą x pakeisime tam tikru be galo mažu dydžiu h, tai gausime funkcijos pokytį dy=f(x+h). Tas dy nelygus 0, tačiau tiek mažas, kad, jį padauginus iš bet kokio baigtinio skaičiaus, negausime jokio baigtinio skaičiaus. Taigi tokia samprata buvo svetima sveikam protui. Diferencialinių algoritmų prieštaringumas buvo akivaizdus daugeliui 18 a. matematikų. Tačiau jie buvo naudojami mechanikoje ir astronomijoje, tapo produktyviausia matematikos sritimi. Matematinės analizės vystymąsi galima apibūdinti kaip dialektinį „teorijos-taikymų“ sistemos vystymąsi.

19 a. filosofinės diskusijos matematikoje daugiausia susiję su geometrijos vystymusi, ypač neeuklidinėmis erdvėmis. 1826 m. vasario 11 d. Kazanės un-to prof. N.I. Lobačevskis fizikos-matematikos fakulteto tarybai pristatė pranešimą apie geometrijos pagrindus. Pagrindinė jo idėja buvo ta, kad Euklido aksioma apie lygiagrečias tieses yra nepriklausoma nuo kitų aksiomų (neišvedama iš jų) ir todėl galima sukurti kitą geometriją, tą aksiomą pakeitus priešinga. Per kelis metus Lobačevskis išvystė naujos geometrijos teoriją ir nurodė jos galimus taikymus matematinės analizės srityje. Tai paskatino gilinimąsi į matematikos sampratą ir jos pagrindus.

19 a. pradžioje matematikos aiškinime vyravo empirizmas ir apriorizmas. Kadaise Platonas atskyrė aritmetiką ir geometriją dėl jų sąvokų prigimties. Skaičiai priklausė idėjų pasauliui, o geometrijos objektai buvo idealūs tik pusiau, nes buvo susiję su jusliniais vaizdiniais. Panašiai aritmetika ir geometrija išskirta ir 19 a. Jei aritmetikos objektai (ypač iracionalūs ir menami skaičiai) priimami kaip mąstymo dariniai, kuriais galime operuoti tik logikos pagalba, tai geometrijos objektai susiję su empiriniu supratimu.

Priešingą požiūrį į geometriją (ir aplamai matematiką) 19 a. pabaigoje išdėstė I. Kantas. Pagal jį, geometrijos ir aritmetikos sąvokos nėra kosmoso struktūros atspindys (kaip laikė pitagoriečiai) ir nėra abstrahuotos iš patyrimo, o yra grynojo arba apriorinio apmąstymo, būdingo žmogui, atspindys. Egzistuoja dvi grynojo mąstymo formos: erdvė ir laikas. Geometrija yra tėra gryna erdvės intuicija, išreikšta sąvokomis, o aritmetika – laiko. Geometrijos ir aritmetikos tvirtinimai nėra empiriniai, tačiau ir ne analitiniai, ne tautologijos (kokios yra logikos taisyklės), nes atspinti juslingumą, kad ir ne empirinį. Tad matematika būtų sintetinių teiginių sistema, išreiškianti juslingumo apriorinių formų struktūrą.

20 a. matematikoje pagrindine problema tapo matematikos pagrindai, bandymai pašalinti aibių teorijos prieštaravimus, o bendresne prasme – rasti matematinių įrodymų patikimumo garantijas.

Kaip kad pagrindiniu filosofijos klausimu yra sąmonės ir materijos santykis, taip matematikos filosofijos – matematikos sąvokų santykis su objektyvia realybe. Matematiką, kaip ir filosofiją, galima priskirti bendriesiems mokslams. Ji kartu ir abstraktus mokslas, o jos priemones naudoja kone visos pažinimo sritys. Tad kur skirtumas tarp matematikos ir filosofijos?

Pirmiausia, jos naudoja skirtingus tikrovės aprašymo būdus ir, atitinkamai, kalbas. Matematika naudoja dirbtinę kalbą, formalų-loginį metodą. Filosofija tiria visus tikrovės reiškinius bendrų dėsningumų aspektu ir suteikia, iš esmės, universalų pažinimo metodą. Kitoks reikalas su matematika. Jos tikas – aprašyti kokį nors procesą tam tikro matematinio aparato pagalba. Tačiau, vienok, matematika nepateikia vien tik kiekybinės pasaulio objektų pusės.

Tad skirtumas tarp filosofijos ir matematikos yra ne ties formos ir turinio, kokybės ir kiekybės ar kitų filosofijos sąvokų sankirta. Skiriasi išorinio procesų aprašymo metodas ir kalba, kad matematika taiko formalų būdą, nes tokia jos kalba – su visais privalumais ir trūkumais. Tačiau tada matematinis metodas yra pagalbinis teorinio aprašymo būdas.

Matematikos filosofija - mokslo filosofijos skyrius, nagrinėjantis matematikos filosofinius pagrindus ir problemas (ontologines, gnoseologines, metodologines, logines ir aksiomatines prielaidas) bei matematikos principus bendrai, jos atskiras kryptis, disciplinas ir teorijas. Plačiąja prasme užsiima matematikos „kalbos“ semantinės teorijos kūrimu siekiant išsiaiškinti matematinių išsireiškimų ir abstrakčių jos objektų prasmę.

Pvz., Kantorui išvysčius aibių teoriją kilo matematikos pagrindų krizė, kurią G. Frėgė ir jo pasekėjai (B. Raselas, A. Vaithedas) bandė išspręsti suvedami matematiką į logiką, kas smarkiai išvystė matematinę logiką, tačiau po Giodelio teoremos įrodymo logicizmas ėmė griūti, tačiau dabar atgyja neologicizmo pavidalu remiantis A. Meinongo¹⁾ paveldu.

Tuo tarpu E. Hiuserlis ir kiti (H. Veilis²⁾, O. Bekeris³⁾ ir t.t.) krizę įveikti bandė remdamiesi dekartiškuooju akivaizdumu ir intuityvumu, nors kartu su tuo buvo atmetama daugelis akivaizdžių dalykų, taip pat ir neprieštaringumo principas (intuicionizmas, skaitykite >>>>>). O Hilbertas ir kiti aibių paradoksų bandė išvengti kurdami neprieštaringas formalias sistemas.

¹⁾ Aleksius Meinongas (Alexius Meinong Ritter von Handschuchsheim, 1853-1920) – austrų filosofas ir psichologas, sukūręs savo ontologiją („daiktų teoriją“, Gegenstandstheorie), savą vertybių teoriją ir užsiėmęs mąstymo teorijos klausimais. Išskyrė tris objektų kategorijas: egzistuojančius materialiai (kalnai), egzistuojančius nematerialiame pasaulyje (skaičiai) ir negalintys iš principo egzistuoti (trikampis žiedas). Sukūrė daiktų klasifikaciją remiantis savo išskirtomis psichologinių aktų klasėmis: vaizdinys, mąstymas, jausmas, noras.

²⁾ Hermanas Veilis (Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955) - vokiečių matematikas ir fizikas, įtakojęs teorinės fizikos bei grynosios matematikos disciplinas, įskaitant skaičių teoriją. 1913-30 m. profesoriavo Ciuriche, kur susipažino su A. Einšteinu. 1933 m. emigravo į JAV (jo žmona buvo žydė), kur dirbo Prinstono Pažangių tyrimų inst-te.
Reikšmingiausi jo darbai algebroje (tolydžių grupių, jų atvaizdavimų ir invariantų teorijoje) bei kompleksinio kintamojo funkcijų teorijoje („Rymano paviršiaus idėjoje“, 1913) pirmąkart pateiktas griežtas Rymano paviršiaus apibrėžimas, netrukus imtas taikyti visoms daugdaroms. Darbai taikomosios tiesinės algebros srityje padėjo sukurti matematinį programavimą, o darbai apie matematinę logiką ir matematikos pagrindus iki šiol tebeįdomūs (jis priskirtinas prie intuicionalistų, artimas A. Puankarė ir L. Braueriui). Matematinės fizikos srityje po bendrosios reliatyvumo teorijos sukūrimo užsiėmė vieningo lauko teorija.
Taip pat apie jį skaitykite >>>>>

³⁾ Oskaras Bekeris (Oscar Becker, 1889-1964) – vokiečių filosofas, poetas, matematikas ir matematikos istorikas; vienas iš Hiuserlio mokinių. Buvo fenomenologinio metodo atstovas, prisidėjo prie egzistencializmo vystymo įnešdamas „paraegzistencijos“ klausimą nežmogiškoje sferoje. Matematikos istorijoje atstovavo konstruktyvistinę poziciją, daug kuo artimą intuicionizmui. Jo svarbiausiu darbu laikomas „Matematinis egzistavimas“ (1927), kurioje pasirėmė ir Heidegerio hermeneutika, pravesdamas analogijas tarp aritmetikos ir „būties mirčiai“. Svarbia buvo jo diskusija su D. Hilbertu ir P. Bernaisu apie potencialios begalybės vaidmenį Hilberto formalistinėje metamatematikoje.