Matematika labai savitas mokslas ir kai kurių jos aspektų filosofinė analizė
nėra paprasta. Tad nemažai metodologinių matematikos problemų vis dar neišspręsta.
Pirmąją filosofinę matematikos teoriją sukūrė pitagoriečiai,
matematinį pažinimą laikę būtinu bet kokio kito pažinimo pagrindu ir tikriausia jo dalimi. Tuo tarpu matematikos ištakos
skverbiasi į dar ankstesnius laikus, Egiptą ir Babiloną (skaitykite Matematika Egipte ir Finikijoje).
Tačiau nemažai istorikų linkę manyti, kad matematika kaip teorinė disciplina atsirado vėliau, pas graikus, nes nei Egipte, nei
Babilone nesutinkama dedukcinių išvadų, vienų formulių gavimo iš kitų. Pirmų matematinių
teoremų įrodymas priskiriamas Taliui iš Mileto (apie 625-547 m. pr.m.e.). Vėliau matematika
vystėsi jau sparčiai, ypač loginio sisteminimo srityje. O tai padarė didelę įtaką filosofiniam mąstymui. Mat graikai matematikoje
įžvelgė ne tik praktinę priemonę, bet ir pasaulio esmės, susijusios su amžina ir nekintančia prigimtimi, išraišką.
Ir tada atėjo eilė Pitagorui ištarti, kad
visa yra skaičius. Graikai pastebėjo, kad aritmetiniai veiksmai turi savitą akivaizdumą, besąlygišką privalomumą. Tad filosofija
pitagoriečiams virto skaičių ir geometrinių figūrų mistika; bet kurio teiginio apie pasaulį tikrumas buvo pasiekiamas jo suvedimai į skaičių harmoniją.
Platonas jau susimąstė ir apie matematinio dėsningumo ištakas. Jam matematinės tiesos
įgimtos, jos yra vaizdiniai apie pačią Tiesą, kuriuos siela gavo tobulesniame, idėjų pasaulyje.
Tad matematinis pažinimas tėra prisiminimas; jam nereikia patirties, gamtos stebėjimo, o vien tik regėjimo protu.
Tačiau egzistavo ir kita, realistiškesnė matematikos filosofija, kylanti iš Leukipo ir
Demokrito atomizmo; jis neigė geometrinių darinių galimybę tuštumoje: geometrinės
figūros jam buvo ne mąstymo esybės, o materialūs kūnai, sudaryti iš atomų. Matematinis
atomizmas atsirado greičiau kaip atskira euristinė idėja geometrijoje, nei kaip ypatingas
požiūris į visos matematikos prigimtį. Tačiau netiesiogiai jis prieštaravo pitagoriečiams, nes
matematiniai dėsningumai buvo antriniai atomų atžvilgiu. Tad neveltui pitagoriečiai protestavo prieš matematikos pavertimą fizika.
Per tūkstantį metų trukusius Viduramžius matematika nepatyrė jokių esminių perversmų,
nors matematinės ir loginės tiesos buvo nuolatinių scholastikos spekuliacijų temos. Tik 14-15 a. prasidėjo matematinio mąstymo
atgimimas aritmetikoje, algebroje ir geometrijoje. Per 200
m. atsirado ir išsivystė visiškai naujos idėjos, šiandien priskiriamos diferencialiniam ir integraliniam skaičiavimams. Jas sukėlė mechanikos poreikiai.
Kartu matematika imta traktuoti ne kaip abstraktus mokslas, o kaip empirinis, priklausantis nuo išorinių realijų.
Pagrindine Leibnico sąvoka buvo diferencialas (be galo mažas funkcijos reikšmės
pokytis). Jei funkcijos y=f(x) argumentą x pakeisime tam tikru be galo mažu dydžiu h, tai gausime funkcijos pokytį
dy=f(x+h). Tas dy nelygus 0, tačiau tiek mažas, kad, jį padauginus iš bet kokio baigtinio skaičiaus,
negausime jokio baigtinio skaičiaus. Taigi tokia samprata buvo svetima sveikam protui.
Diferencialinių algoritmų prieštaringumas buvo akivaizdus daugeliui 18 a. matematikų. Tačiau
jie buvo naudojami mechanikoje ir astronomijoje, tapo produktyviausia matematikos sritimi.
Matematinės analizės vystymąsi galima apibūdinti kaip dialektinį teorijos-taikymų sistemos vystymąsi.
19 a. filosofinės diskusijos matematikoje daugiausia susiję su geometrijos vystymusi, ypač neeuklidinėmis erdvėmis.
1826 m. vasario 11 d. Kazanės un-to prof. N.I. Lobačevskis
fizikos-matematikos fakulteto tarybai pristatė pranešimą apie geometrijos pagrindus.
Pagrindinė jo idėja buvo ta, kad Euklido aksioma apie lygiagrečias tieses yra nepriklausoma
nuo kitų aksiomų (neišvedama iš jų) ir todėl galima sukurti kitą geometriją, tą aksiomą
pakeitus priešinga. Per kelis metus Lobačevskis išvystė naujos geometrijos teoriją ir nurodė
jos galimus taikymus matematinės analizės srityje. Tai paskatino gilinimąsi į matematikos sampratą ir jos pagrindus.
19 a. pradžioje matematikos aiškinime vyravo empirizmas ir apriorizmas. Kadaise Platonas
atskyrė aritmetiką ir geometriją dėl jų sąvokų prigimties. Skaičiai priklausė idėjų
pasauliui, o geometrijos objektai buvo idealūs tik pusiau, nes buvo susiję su jusliniais
vaizdiniais. Panašiai aritmetika ir geometrija išskirta ir 19 a. Jei aritmetikos objektai (ypač
iracionalūs ir menami skaičiai) priimami kaip mąstymo dariniai, kuriais galime operuoti tik
logikos pagalba, tai geometrijos objektai susiję su empiriniu supratimu.
Priešingą požiūrį į geometriją (ir aplamai matematiką) 19 a. pabaigoje išdėstė I. Kantas.
Pagal jį, geometrijos ir aritmetikos sąvokos nėra kosmoso struktūros atspindys (kaip laikė
pitagoriečiai) ir nėra abstrahuotos iš patyrimo, o yra grynojo arba apriorinio apmąstymo,
būdingo žmogui, atspindys. Egzistuoja dvi grynojo mąstymo formos: erdvė ir laikas.
Geometrija yra tėra gryna erdvės intuicija, išreikšta sąvokomis, o aritmetika laiko.
Geometrijos ir aritmetikos tvirtinimai nėra empiriniai, tačiau ir ne analitiniai, ne tautologijos
(kokios yra logikos taisyklės), nes atspinti juslingumą, kad ir ne empirinį. Tad matematika būtų
sintetinių teiginių sistema, išreiškianti juslingumo apriorinių formų struktūrą.
20 a. matematikoje pagrindine problema tapo matematikos pagrindai, bandymai pašalinti
aibių teorijos prieštaravimus, o bendresne prasme rasti matematinių įrodymų patikimumo garantijas.
Kaip kad pagrindiniu filosofijos klausimu yra sąmonės ir materijos santykis, taip matematikos
filosofijos matematikos sąvokų santykis su objektyvia realybe. Matematiką, kaip ir filosofiją,
galima priskirti bendriesiems mokslams. Ji kartu ir abstraktus mokslas, o jos priemones
naudoja kone visos pažinimo sritys. Tad kur skirtumas tarp matematikos ir filosofijos?
Pirmiausia, jos naudoja skirtingus tikrovės aprašymo būdus ir, atitinkamai, kalbas.
Matematika naudoja dirbtinę kalbą, formalų-loginį metodą. Filosofija tiria visus tikrovės
reiškinius bendrų dėsningumų aspektu ir suteikia, iš esmės, universalų pažinimo metodą.
Kitoks reikalas su matematika. Jos tikas aprašyti kokį nors procesą tam tikro matematinio
aparato pagalba. Tačiau, vienok, matematika nepateikia vien tik kiekybinės pasaulio objektų pusės.
Tad skirtumas tarp filosofijos ir matematikos yra ne ties formos ir turinio, kokybės ir
kiekybės ar kitų filosofijos sąvokų sankirta. Skiriasi išorinio procesų aprašymo metodas ir
kalba, kad matematika taiko formalų būdą, nes tokia jos kalba su visais privalumais ir
trūkumais. Tačiau tada matematinis metodas yra pagalbinis teorinio aprašymo būdas.
Matematikos filosofija - mokslo filosofijos skyrius, nagrinėjantis matematikos filosofinius
pagrindus ir problemas (ontologines, gnoseologines, metodologines, logines ir aksiomatines
prielaidas) bei matematikos principus bendrai, jos atskiras kryptis, disciplinas ir teorijas. Plačiąja prasme užsiima
matematikos kalbos semantinės teorijos kūrimu siekiant išsiaiškinti matematinių išsireiškimų ir abstrakčių jos objektų prasmę.
Pvz., Kantorui išvysčius aibių teoriją kilo matematikos pagrindų krizė, kurią
G. Frėgė ir jo pasekėjai (B.
Raselas, A. Vaithedas) bandė išspręsti suvedami matematiką į logiką,
kas smarkiai išvystė matematinę logiką, tačiau po Giodelio teoremos įrodymo logicizmas ėmė griūti,
tačiau dabar atgyja neologicizmo pavidalu remiantis A. Meinongo1) paveldu.
Tuo tarpu E. Hiuserlis ir kiti (H. Veilis2), O. Bekeris3) ir t.t.) krizę įveikti bandė remdamiesi dekartiškuooju
akivaizdumu ir intuityvumu, nors kartu su tuo buvo atmetama daugelis akivaizdžių dalykų, taip pat ir neprieštaringumo principas (intuicionizmas,
skaitykite >>>>>). O Hilbertas ir
kiti aibių paradoksų bandė išvengti kurdami neprieštaringas formalias sistemas.
1) Aleksius Meinongas (Alexius Meinong Ritter von Handschuchsheim, 1853-1920)
austrų filosofas ir psichologas, sukūręs savo ontologiją (daiktų teoriją, Gegenstandstheorie),
savą vertybių teoriją ir užsiėmęs mąstymo teorijos klausimais. Išskyrė tris objektų kategorijas: egzistuojančius materialiai (kalnai),
egzistuojančius nematerialiame pasaulyje (skaičiai) ir negalintys iš principo egzistuoti (trikampis žiedas). Sukūrė
daiktų klasifikaciją remiantis savo išskirtomis psichologinių aktų klasėmis: vaizdinys, mąstymas, jausmas, noras.
2) Hermanas Veilis (Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955) - vokiečių matematikas ir
fizikas, įtakojęs teorinės fizikos bei grynosios matematikos disciplinas, įskaitant skaičių teoriją. 1913-30 m. profesoriavo Ciuriche,
kur susipažino su A. Einšteinu. 1933 m. emigravo į JAV (jo žmona buvo žydė),
kur dirbo Prinstono Pažangių tyrimų inst-te.
Reikšmingiausi jo darbai algebroje (tolydžių grupių, jų atvaizdavimų ir invariantų teorijoje) bei kompleksinio kintamojo funkcijų teorijoje
(Rymano paviršiaus idėjoje, 1913) pirmąkart pateiktas griežtas Rymano paviršiaus apibrėžimas, netrukus imtas taikyti visoms
daugdaroms. Darbai taikomosios tiesinės
algebros srityje padėjo sukurti matematinį programavimą, o darbai apie matematinę logiką ir matematikos pagrindus iki šiol
tebeįdomūs (jis priskirtinas prie intuicionalistų, artimas A. Puankarė ir
L. Braueriui). Matematinės fizikos srityje po
bendrosios reliatyvumo teorijos sukūrimo užsiėmė vieningo lauko teorija.
Taip pat apie jį skaitykite >>>>>
3) Oskaras Bekeris (Oscar Becker, 1889-1964) vokiečių filosofas, poetas, matematikas ir matematikos
istorikas; vienas iš Hiuserlio mokinių. Buvo fenomenologinio metodo atstovas, prisidėjo prie
egzistencializmo vystymo įnešdamas paraegzistencijos klausimą nežmogiškoje sferoje. Matematikos
istorijoje atstovavo konstruktyvistinę poziciją, daug kuo artimą intuicionizmui. Jo svarbiausiu darbu laikomas Matematinis
egzistavimas (1927), kurioje pasirėmė ir Heidegerio hermeneutika, pravesdamas
analogijas tarp aritmetikos ir būties mirčiai. Svarbia buvo jo diskusija su D. Hilbertu ir P. Bernaisu apie potencialios
begalybės vaidmenį Hilberto formalistinėje metamatematikoje.
Kiti HOT.LT straipsniai:
Kur viešpatauja chaosas?
Rortis apie tiesą
Dėl kompiuterinio raštingumo
Matematinė kalba ir simbolika
Didžioji Ferma teorema
Vištų matematiniai pokalbiai
Graikų matematikai - filosofai
Nekenčiu kalkuliatoriaus!
Davidas Hilbertas
Matematikos šlovė ir garbė
Galilėjus, Dievas ir Matematika
Jūsų skaitmeninės tapatybės kelias į anapilį
Kompiuterinių žaidimų filologijos perspektyvos
Algoritmų pirmeivis laimėjo Kyoto premiją
Kibernetikos istorijos etiudai, V. Nalimovas
Technika: Nuo Paleolito laikų
Naujojo tipo mokslas
Specialioji reliatyvumo teorija
Ar mašina kada nors mąstys?
Seniausias pasaulyje analoginis kompiuteris
Eliza ir rūpesčiai dėl tapatybės
Moters kelias į akademiją
|